¿Qué es el MFP? (Mean Free Path o Camino Libre Medio)

El camino libre medio (en inglés mean free path) o como aparece habitualmente en la literatura MFP, se encuentra dentro de la rama de la acústica geométrica y por tanto es parte de múltiples cálculos teóricos de acústica de recintos. Este parámetro indica la distancia media que recorre el sonido entre una reflexión y la siguiente.

propuso utilizar una modificación de la teoría cinética de los gases obteniendo así el cálculo del camino libre medio para ondas acústicas como:

(1)   \begin{flalign*} MFP=4\frac{V}{S} \end{flalign*}

Donde V es el volumen del recinto en m3 y S en la superficie interior del recinto en m2.

En la literatura se pueden encontrar multiples estudios y artículos hablando sobre este parámetro pero muy pocos se cuestionan la validez de este, muy probablemente porque los estudios originales que desarrollaron los experimentos para validar el cálculo son casi inaccesibles en la mayoría de los casos porque no han sido digitalizados. Debido a esto quise irme a uno de los orígenes de este cálculo  que según muchos autores mencionaban hizo experimentos para validar el cálculo aunque la gran mayoría se referenciaban unos a otros por lo que parecía que se creían lo que otros autores decían sin ir a la fuente original.

Me propuse hacerme con el libro Architectural Acoustics , después de buscar mucho encontré una librería de segunda mano en Reino Unido que tenían un ejemplar en perfecto estado, así que lo pedí (tuve que hacer uso de una dirección postal inglesa mediante myUKmailbox, cuidado porque no son baratos los gastos de envío) y me he tomado la libertad de capturar las páginas donde habla de este parámetro y la experimentación (espero no tener muchos problemas al compartirlo) y dejarlo disponible al completo al final de esta publicación.

Continuando con el MFP, Jäger demostró teóricamente que este valor para MFP es válido para cualquier factor de forma de recinto en el supuesto de que la distribución de energía acústica sea uniforme. Años más tarde,  obtuvieron otros valores de MFP para recintos con factores de forma muy concretos:

(2)   \begin{flalign*} \text{Cubo } &\rightarrow \text{MFP}=2\sqrt{3}\frac{V}{S}\\ \text{Cilindro (altura=diámetro)} &\rightarrow \text{MFP}=3\sqrt{2}\frac{V}{S}\\ \text{Esfera }&\rightarrow \text{MFP}=\text{diámetro}=6\frac{V}{S} \end{flalign*}

 

Trazado de rayos para calcular el camino libre medio (promedio de Ri). Figura extraída y modificada de , pág. 109.

 

Poco después,  demostró empíricamente (figura a continuación de este párrafo, con más resolución en la descarga al final de la publicación) que el valor de MFP propuesto por Jäger no es excesivamente dependiente del factor de forma del recinto. Lo realizó emitiendo rayos lumínicos simulando la emisión de una fuente acústica sobre varios modelos de auditorios a escala, promediando la longitud entre reflexión y reflexión de estos rayos; determinó que el valor 4V/S es una buena aproximación del camino libre medio.

 

Izquierda: Modelos utilizados para el cálculo de MFP por Vern O. Knudsen. Figura extraida del libro , pág. 140.
Derecha: Resultados obtenidos con las medidas de Vern O. Knudsen. Tabla extraída del libro , pág 141.

 

En la tabla, el factor k se encuentra en unidades del sistema imperial, la conversión al sistema internacional de unidades se obtiene multiplicando por la velocidad del sonido en unidades imperiales (1124 pies/s) y dividiendo por la misma velocidad en unidades métricas (343 m/s), tal que:

(3)   \begin{flalign*} k_{\text{S.I.}}=k_{\text{I}}\cdot\frac{1124}{343} \end{flalign*}

 

Este factor k se obtiene mediante:

(4)   \begin{flalign*} k=\text{MFP}\cdot\frac{S\ln 10^6}{ Vc}  \rightarrow \text{MFP}=k\cdot\frac{V\ c}{S\ ln 10^6} \end{flalign*}

Donde \text{MFP} es el valor de MFP experimental o teórico en metros y c la velocidad del sonido en m/s.

 

El factor k (que habitualmente en la literatura aparece con el valor 0.161) es el valor que multiplica a V/A en la ecuación del tiempo de reverberación:

(5)   \begin{flalign*} T &= \text{MFP}\cdot\frac{\ln 10^6 }{c\ \overline{\alpha}}=k\cdot\frac{V\ c}{S\ ln 10^6}\cdot\frac{\ln 10^6}{c\ \overline{\alpha}}=\\ ~\\ &=k\frac{V}{S\ \overline{\alpha}}=k\frac{V}{A}\approx 0.161 \cdot \frac{V}{A} \end{flalign*}

Donde A puede ser la absorción equivalente de Sabine o de Eyring.

Como se puede observar el MFP es primordial para los cálculos teóricos del tiempo de reverberación y todos los cálculos que dependan de este, por ello no se puede tomar a la ligera el valor de MFP. El cálculo 4V/S para obtener el MFP es aproximado, se ha podido ver en la tabla del libro de Knudsen que difiere ligeramente de lo obtenido experimentalmente, por lo que siempre debemos ser conscientes de que introducimos cierto margen de error en nuestros cálculos.



Referencias

Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica: sive de viribus et motibus fluidorum commentarii.
Eyring, C. F. (1930). Reverberation Time in “Dead” Rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 168–168. https://doi.org/10.1121/1.1901884
Jäger, G. (1911). Zur theorie des nachhalls. Wiener Akad, Ber., Math.-Naturwiss, Klasse, Bd, 120, 613–634.
Knudsen, V. O. (1932). Architectural Acoustics (1a ed.). J. Wiley & sons, Incorporated.
Schuster, K., & Waetzmann, E. (1929). Über den Nachhall in geschlossenen Räumen. Annalen Der Physik, 393(5), 671–695. https://doi.org/10.1002/andp.19293930505
Self, D., Duncan, B., Sinclair, I., Brice, R., Hood, J. L., Singmin, A., … Watkinson, J. (2009). Audio Engineering: Know It All. Elsevier Science.

Regresión múltiple con funciones definidas por el usuario en Matlab

En ocasiones se nos presentan situaciones en las que se busca ajustar una función a un conjunto de datos, en los programas es habitual encontrarnos con funciones predefinidas para utilizarlas fácilmente, en Matlab se ofrecen algunas como:

‘poly1’    \rightarrow \; y=mx+c
‘power1’ \rightarrow \; y=ax^b
‘sin1’     \rightarrow \; y=a\cdot\sin(bx+c)

Estas configuraciones rápidas son muy útiles pero no nos sirven para todos los casos, en ocasiones se busca ajustar un conjunto de datos a otro tipo de función que se presupone que define el conjunto de datos y por tanto el ajuste será mejor. Teniendo de ejemplo una función como la de campo perjudicial planteada en la teoría revisada corregida, que se escribe del siguiente modo:

 

(1)   \begin{flalign*} L_{p,\text{perjudicial}}=y=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2} \cdot\frac{4W}{A} \cdot e^{-\frac{13.82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)\cdot \epsilon_L}{T}}\cdot C_L \right) \end{flalign*}

 

donde Z, p_0, W, A, c, t_0 y T son constantes, r es la variable independiente, \epsilon_L y C_L son los coeficientes de la función (los valores que se desean obtener) y L_{p,\text{perjudicial}} es el valor de salida de la función o y (en el caso del ejemplo, es la curva del campo perjudicial obtenido experimentalmente). Buscaremos, mediante regresión, que esta función devuelva unos valores similares a la curva ajustando los coeficientes definidos.

En Matlab la función que nos permite realizar una regresión mediante una función personalizada es fit, que para nuestro caso se escribirá como fit(x,y,fitType,Name,Value), como se puede observar se necesita crear un objeto de tipo fitType, en este objeto es donde estableceremos la ecuación para realizar la regresión, la variable dependiente (y), la variable independiente (r o x), las constantes (Z, p_0, W, A, c, t_0 y T) y los coeficientes (\epsilon_L y C_L) que en lenguaje Matlab es:

 

fP = fittype(...
       'Zimp/p0^2 * (4*W)/A * exp(-(13.82*(r/c+t0)*el/T)) * Cl',...   % Ecuación
       'dependent',{'y'},...                                          % Variable dependiente, salida de la ecuación
       'independent',{'r'},...                                        % Variable independiente, distancia        
       'problem', {'Zimp','p0','W','A','t0','T','c'},...              % Constantes
       'coefficients',{'el','Cl'});                                   % Coeficientes

 

Una vez definida nuestra regresión, para realizarla se deben introducir todas las variables y constantes y el objeto  fitType en la función fit, quedando:

 

[fitobject,gof,output] = fit(r,10.^(LPexp/10),fP,'problem',{Zimp,p0,W,A,t0,T,c});

 

La función fit puede devolver 3 variables:

  • fitobject es un objeto de tipo cfit similar a una estructura que contiene el valor de los coeficientes incluyendo un margen de confianza del 95%. También contiene la función/ecuación utilizada y el valor de los parámetros de entrada.
  • gof es un objeto de tipo struct que contiene los parámetros del ajuste de la regresión a los datos de entrada.
  • output es un objeto de tipo struct que contiene los detalles del proceso de la regresión, los residuos, etc.

La variable que nos interesa principalmente es la fitobject que nos dará los valores de los coeficientes a los que estábamos buscando valores.

Para comprender bien todo lo explicado (sé que es complejo de entender sin experimentar) incluyo el siguiente código que contiene todo lo necesario para realizar la regresión y obtener los resultados (al final de esta publicación incluyo la descarga de scripts para ejecutar directamente en Matlab, estos incluyen más información):

 

%% Ejemplo de regresión multivariable

% Variables
r       =   0:0.1:18;       % Vector de distancias (m)
LPexp   =   -0.23*r+75.28;  % Curva del campo perjudicial experimental (dB)
Zimp    =   413.48;         % Impedancia acústica del aire (rayls)
p0      =   2*10^-5;        % Presión acústica de referencia (pascales)
W       =   0.0026;         % Potencia acústica de la fuente (vatios)
A       =   66.3082;        % Absorción acústica equivalente (m^2)
t0      =   0.05;           % Tiempo de integración temporal (segundos)
T       =   1.1577;         % Tiempo de reverberación (segundos)
c       =   343.4;          % Velocidad del sonido en el aire (m/s)

%% Definición de la regresión (ecuación, variables, coeficientes, etc)
% La ecuación la introduciremos en lineal para facilitar el proceso de
% regresión, por lo que quitamos el logaritmo de la ecuación.
fP = fittype(...
    'Zimp/p0^2 * (4*W)/A * exp(-(13.82*(r/c+t0)*el/T)) * Cl',... % Ecuación
    'dependent',{'y'},...                                        % Variable dependiente, salida de la ecuación
    'independent',{'r'},...                                      % Variable independiente, distancia        
    'problem', {'Zimp','p0','W','A','t0','T','c'},...            % Constantes
    'coefficients',{'el','Cl'});                                 % Coeficientes

%% Regresión
% Tanto la variable dependiente como la independiente deben ser columnas:
r = r';
LPexp = LPexp';

% La variable de la curva del campo perjudicial experimental se convierte a
% lineal para que la comparación con la función introducida sea correcta,
% ya que antes hemos eliminado el logaritmo.
[fitobject,gof,output] = fit(r,10.^(LPexp/10),fP,'problem',{Zimp,p0,W,A,t0,T,c});

%% Variables obtenidas mediante la regresión
% Coeficientes
el = fitobject.el;
Cl = fitobject.Cl;
% Valor de ajuste R^2
R2 = gof.adjrsquare;

%% Curva obtenida mediante la regresión en decibelios
LPteo = 10*log10(Zimp/p0^2 * (4*W)/A * exp(-(13.82*(r/c+t0)*el/T)) * Cl);

%% Representación gráfica de ambas curvas
% Experimental
plot(r,LPexp,'r','LineWidth',2);
hold on;
% Teórico (regresión)
plot(r,LPteo,'b:','LineWidth',2);

 


«Dándole una vuelta más» al cálculo de los campos acústicos. Los campos útil y perjudicial y la teoría revisada corregida

La teoría revisada corregida es un método modificado del cálculo de campos acústicos que no es definitivo sino que es un paso intermedio en la búsqueda de un cálculo más ajustado a lo que se obtiene experimentalmente. Lo propuse en mi Trabajo Fin de Grado (leer) gracias a la inspiración de mi tutor   y he querido sintetizar esa idea en una publicación de mi blog.

 

Introducción

Para entender el concepto de campo útil y campo perjudicial es necesario conocer uno de los aspectos fundamentales del sistema auditivo humano, la persistencia acústica. En  (inspirado por )  se demostraba que el cerebro humano no discrimina entre dos sonidos que tengan una separación temporal máxima aproximada de 50 ms, influyendo también en la ubicación percibida del origen de esos dos sonidos, ubicando ambos en el origen del primero (efecto de precedencia o efecto Hass).

Este concepto nos indica que además del campo directo, nuestro oído integra y, por tanto no interfieren en la inteligibilidad, las primeras reflexiones del sonido, trasladando así los campos directo y reverberado a los campos útil y perjudicial, donde el útil incorpora el campo directo y el temprano hasta los 50 ms (de 0 a 50 ms) y el perjudicial está formado por el campo acústico desde los 50 ms (de 50ms a \infty).

Hay múltiples investigaciones que intentan encontrar una formulación matemática para calcular el nivel de los campos acústicos a una distancia concreta de la fuente. En esta publicación se va a comentar la más conocida aunque no tiene en cuenta la integración temporal de los 50 ms y posteriormente dos investigaciones, esta vez sí, orientadas a la obtención de los campos útil y perjudicial.

 

Hopkins y Stryker

En  se definió el cálculo de la intensidad acústica de los campos directo y reverberado más conocido:

 

(1)   \begin{flalign*} I = \frac{WQ}{4\pi r^2}+\frac{4W}{A}  \end{flalign*}

 

donde W es la potencia acústica de la fuente en vatios, Q es el factor de directividad de la fuente, r es la distancia entre la fuente al punto a evaluar (receptor) en metros y A es la absorción acústica equivalente:

    \[A \rightarrow  \text{Puede ser } \left\{ \begin{array}{c}S\ \overline{\alpha} \quad\quad\quad\quad\;\;\; \text{(Sabine)}\\ -S \ln (1-\overline{\alpha}) \quad \text{(Eyring)}\end{array} \right.\]

Hopkins y Stryker consideraban el campo reverberante estacionario pero en la práctica no es así, la diferencia entre los campos acústicos obtenidos experimentalmente y los calculados mediante la ecuación 1 se puede observar en la gráfica siguiente:

 

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Barron y Lee (Teoría Revisada)

En  se incluyó la integración temporal de los campos acústicos, en concreto se definió el cálculo de estos para la música, por lo que el tiempo de integración que utilizan es de 80 ms (0 a 80 ms y 80 ms a \infty). Las ecuaciones planteadas fueron las siguientes (he revertido algunas simplificaciones aplicadas en el artículo):

 

(2)   \begin{flalign*} L_D =& 10\log_{10}\left( \frac{WQ}{4\pi r^2}\right) \\[1em] L_E =&10\log_{10}\left(\frac{4W}{A}\cdot e^{-\nicefrac{0.04r}{T}}\cdot\left( 1-e^{\nicefrac{-1.11}{T}} \right)\right) \\[1em] L_L =& 10\log_{10}\left(\frac{4W}{A}\cdot e^{-\nicefrac{0.04r}{T}}\cdot e^{\nicefrac{-1.11}{T}}\right) \end{flalign*}

 

donde los subíndices D, E y L se refieren a los campos directo, temprano y tardío respectivamente y T es el tiempo de reverberación calculado mediante el cálculo de  en segundos.

En primer lugar hay que comentar que la potencia acústica W en las ecuaciones anteriores se introduce en microvatios (10^{-12}), con ello consiguen desprenderse del cociente de impedancia acústica del aire entre la presión de referencia al cuadrado (\nicefrac{Z}{p_0^2}) que aproximadamente tiene un valor medio de 10^{12} y es necesario para obtener valores de presión acústica a partir de valores de intensidad acústica, esta simplificación introduce un error aproximado del 3% en el cálculo y por ello yo no voy a mantenerla en las siguientes ecuaciones y explicaciones. En segundo lugar, tal como se plantean las ecuaciones no permiten variar el tiempo de integración, por lo que replanteando las ecuaciones quedan del siguiente modo:

(3)   \begin{flalign*} L_D (r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{WQ}{4\pi r^2}\right)\\[1em] L_E (r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{4W}{A}\cdot \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\right)} - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\right)}\right)\right)\\[1em] L_L(r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{4W}{A}\cdot e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\right)}\right)\\[1em] L_{\text{útil}} &=10\log_{10}\left(10^{\nicefrac{L_D}{10}}+10^{\nicefrac{L_E}{10}}\right)\\[1em] L_{\text{perjudicial}} &= L_L  \end{flalign*}

 

donde Z es la impedancia acústica del aire en rayl, p_0=2\cdot 10^{-5} es la presión de referencia, la fracción r/c indica el tiempo en segundos que tarda el sonido en recorrer la distancia entre la fuente y el receptor (r distancia fuente-receptor en metros, c velocidad del sonido en m/s) y t_0 es el tiempo de integración en segundos, para el caso de la palabra es 0.05 segundos.

Si bien el cálculo se aproxima al comportamiento de los campos útil y perjudicial observados experimentalmente, no se puede dar por válido debido a la diferencia con éste, en la figura siguiente se pueden observar estas diferencias (el tiempo de integración es 50 ms):

 

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Sato y Bradley (Teoría Revisada Modificada)

En  se experimenta con la introducción de factores de corrección en las ecuaciones (ecuaciones 4′ y 5′ del artículo mencionado), obteniendo un mejor ajuste de las curvas calculadas frente a las experimentales.

Teoría Revisada Corregida

Partiendo de las ecuaciones 3 y considerando el ajuste de las ecuaciones realizado por , propongo una serie de coeficientes de ajuste que se deben calcular realizando una regresión de las curvas calculadas para ajustarlas a las curvas experimentales, este proceso repetido en múltiples recintos con diferentes características espero que dé como resultado una relación de los parámetros del recinto y los valores de los coeficientes obtenidos para incorporar esa relación a las ecuaciones y obtener un cálculo aún más ajustado.

Además de la inclusión de coeficientes, a partir del análisis de varios campos tempranos experimentales, he encontrado una relación del campo temprano con la inversa de la distancia tal como se puede observar en la figura siguiente, el cálculo de la teoría revisada considera el campo temprano con una pendiente lineal (verde) pero no se corresponde con lo obtenido experimentalmente (rojo y azul), incluyendo mi propuesta de la inversa de la distancia (rosa) el cálculo se aproxima más a lo experimental:

 

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Por lo que las ecuaciones que propongo son las siguientes:

 

(4)   \begin{flalign*} I_D (r)&= \frac{WQ}{4\pi r^2}C_D\\[1em] I_E (r)&= \frac{4W}{Ar} \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\epsilon_E\right)}C_E - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\\[1em] I_L(r)&= \frac{4W}{A} e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\\[1em] I_{\text{útil}} &= I_D + I_E\\[1em] I_{\text{perjudicial}} &= I_L \end{flalign*}

 

donde t_0 es el tiempo de integración entre campo útil y campo perjudicial (0.05 segundos para palabra, 0.08 segundos para música), los coeficientes C y \epsilon se obtienen mediante regresión.

En niveles de presión acústica:

 

(5)   \begin{flalign*} L_{p,\text{útil}} (r)&= 10\log_{10} \left[\frac{Z}{p_0^2} \left(\frac{WQ}{4\pi r^2}C_D + \frac{4W}{Ar} \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\epsilon_E\right)}C_E - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\right)\right]\\[1em] L_{p,\text{perjudicial}} (r)&= 10\log_{10} \left[\frac{Z}{p_0^2} \left(\frac{4W}{A} e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\right] \end{flalign*}

 

Para la obtención de los coeficientes en primer lugar se deben realizar mediciones en múltiples posiciones de un recinto; se obtienen las curvas de los campos acústicos frente a la distancia y se obtienen los parámetros necesarios para el cálculo (W, A, T y Q). También es interesante incorporar otros parámetros relacionados como Mean Free Path ( ), volumen, superficie, etc.

Una vez se tienen las curvas acústicas y los parámetros necesarios para el cálculo, mediante regresión, se ajustan las ecuaciones dándoles valores a los coeficientes para esa medida concreta. Como es de suponer, para realizar la regresión del campo temprano se deben tener los coeficientes del campo tardío.

Teniendo todos los datos (parámetros necesarios, relacionados y coeficientes) se almacenan en una tabla donde se irán guardando resultados obtenidos de múltiples recintos, una vez se tenga un volumen de datos grande se puede buscar una relación entre los coeficientes obtenidos y los parámetros del recinto (manualmente o con programas como eureqa). Estas relaciones pueden ser (esto es un ejemplo no es una relación real) del tipo C_L=V/A^2 o cualesquiera que puedan aparecer, una vez encontradas se sustituirán por los coeficientes para finalmente obtener unas ecuaciones más ajustadas al comportamiento real de los campos acústicos en un recinto.

Lo más probable es que haya que separar los datos según el tipo de recinto (rectangular, anfiteatro, cilíndrico, etc) ya que el comportamiento acústico difiere mucho entre uno y otro tipo. También se debe tener en cuenta que estos resultados asumen que no se está cerca de un contorno (pared, suelo, etc), para evaluar teóricamente puntos cercanos a esos contornos se debe tener en cuenta la corrección de .

Como ejemplo muestro las curvas de los campos acústicos de una medida experimental y las curvas ajustadas mediante regresión utilizando las ecuaciones de la teoría revisada corregida:

 

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Actualmente este es un proyecto que deseo llevar a cabo, para comprobar si estoy en lo cierto con las ecuaciones o deben ser replanteadas. Por falta de medios y/o tiempo por el momento el proyecto está parado, pero espero retomarlo en un futuro o que alguien recoja el testigo.

Para ampliar recomiendo ver la publicación sobre regresión múltiple y probar mis proyectos dBFA2Matlab y EASEPostFile2Matlab, ambos incluyen datos de ejemplo para observar el funcionamiento y los resultados.


Referencias

Barron, M., & Lee, L. J. (1988). Energy relations in concert auditoriums. I. The Journal of the Acoustical Society of America, 84(2), 618–628. https://doi.org/10.1121/1.396840
Eyring, C. F. (1930). Reverberation Time in “Dead” Rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 168–168. https://doi.org/10.1121/1.1901884
Guarinos, J. V., Calleja, M. Y., & Rico, J. C. E. (2016). Estudio de la inteligibilidad de palabra de un recinto en función del balance del campo directo (útil) - reverberado (perjudicial). Euroregio - Tecniacústica.
Hass, H. (1951). Über den Einfluss eines Einfach-Echos auf die Hörsamkeit von Sprache. Acustica, 1, 49–58.
Hopkins, H. F., & Stryker, N. R. (1948). A Proposed Loudness-Efficiency Rating for Loud-Speakers and the Determination of System Power Requirements for Enclosures. Proceedings of the IRE, 36(3), 315–335. https://doi.org/10.1109/JRPROC.1948.226221
Jäger, G. (1911). Zur theorie des nachhalls. Wiener Akad, Ber., Math.-Naturwiss, Klasse, Bd, 120, 613–634.
Petzold, E. (1927). Elementare raumakustik. Bauwelt-verlag.
Sato, H., & Bradley, J. S. (2008). Evaluation of acoustical conditions for speech communication in working elementary school classrooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 123(4), 2064–2077. https://doi.org/10.1121/1.2839283
Waterhouse, R. V. (1955). Interference Patterns in Reverberant Sound Fields. The Journal of the Acoustical Society of America, 27(2), 247–258. https://doi.org/10.1121/1.1907509

Bienvenido/a

Próximamente publicaré mis primeros post relacionados con el concepto de la teoría revisada corregida desarrollada en mi Trabajo Final de Grado.

El blog tiene capacidad para compilar código LaTeX (incluido PGFPlots) tanto en las publicaciones como en los comentarios por si alguien desea aportar algo de forma más sencilla de captar.

La línea de las publicaciones irán orientadas sobretodo a la acústica (en general) y futuros proyectos como los que se pueden ver aquí.

Siempre incluiré referencias bibliográficas que sean necesarias para conocer la base teórica o ampliar el contenido de la publicación.

Gracias por visitarme.

Imagen: Escultura que representa al arquitecto Marco Vitruvio Polión.