¿Qué es el MFP? (Mean Free Path o Camino Libre Medio)

El camino libre medio (en inglés mean free path) o como aparece habitualmente en la literatura MFP, se encuentra dentro de la rama de la acústica geométrica y por tanto es parte de múltiples cálculos teóricos de acústica de recintos. Este parámetro indica la distancia media que recorre el sonido entre una reflexión y la siguiente.

propuso utilizar una modificación de la teoría cinética de los gases obteniendo así el cálculo del camino libre medio para ondas acústicas como:

(1)   \begin{flalign*} MFP=4\frac{V}{S} \end{flalign*}

Donde V es el volumen del recinto en m3 y S en la superficie interior del recinto en m2.

En la literatura se pueden encontrar multiples estudios y artículos hablando sobre este parámetro pero muy pocos se cuestionan la validez de este, muy probablemente porque los estudios originales que desarrollaron los experimentos para validar el cálculo son casi inaccesibles en la mayoría de los casos porque no han sido digitalizados. Debido a esto quise irme a uno de los orígenes de este cálculo  que según muchos autores mencionaban hizo experimentos para validar el cálculo aunque la gran mayoría se referenciaban unos a otros por lo que parecía que se creían lo que otros autores decían sin ir a la fuente original.

Me propuse hacerme con el libro Architectural Acoustics , después de buscar mucho encontré una librería de segunda mano en Reino Unido que tenían un ejemplar en perfecto estado, así que lo pedí (tuve que hacer uso de una dirección postal inglesa mediante myUKmailbox, cuidado porque no son baratos los gastos de envío) y me he tomado la libertad de capturar las páginas donde habla de este parámetro y la experimentación (espero no tener muchos problemas al compartirlo) y dejarlo disponible al completo al final de esta publicación.

Continuando con el MFP, Jäger demostró teóricamente que este valor para MFP es válido para cualquier factor de forma de recinto en el supuesto de que la distribución de energía acústica sea uniforme. Años más tarde,  obtuvieron otros valores de MFP para recintos con factores de forma muy concretos:

(2)   \begin{flalign*} \text{Cubo } &\rightarrow \text{MFP}=2\sqrt{3}\frac{V}{S}\\ \text{Cilindro (altura=diámetro)} &\rightarrow \text{MFP}=3\sqrt{2}\frac{V}{S}\\ \text{Esfera }&\rightarrow \text{MFP}=\text{diámetro}=6\frac{V}{S} \end{flalign*}

 

Trazado de rayos para calcular el camino libre medio (promedio de Ri). Figura extraída y modificada de , pág. 109.

 

Poco después,  demostró empíricamente (figura a continuación de este párrafo, con más resolución en la descarga al final de la publicación) que el valor de MFP propuesto por Jäger no es excesivamente dependiente del factor de forma del recinto. Lo realizó emitiendo rayos lumínicos simulando la emisión de una fuente acústica sobre varios modelos de auditorios a escala, promediando la longitud entre reflexión y reflexión de estos rayos; determinó que el valor 4V/S es una buena aproximación del camino libre medio.

 

Izquierda: Modelos utilizados para el cálculo de MFP por Vern O. Knudsen. Figura extraida del libro , pág. 140.
Derecha: Resultados obtenidos con las medidas de Vern O. Knudsen. Tabla extraída del libro , pág 141.

 

En la tabla, el factor k se encuentra en unidades del sistema imperial, la conversión al sistema internacional de unidades se obtiene multiplicando por la velocidad del sonido en unidades imperiales (1124 pies/s) y dividiendo por la misma velocidad en unidades métricas (343 m/s), tal que:

(3)   \begin{flalign*} k_{\text{S.I.}}=k_{\text{I}}\cdot\frac{1124}{343} \end{flalign*}

 

Este factor k se obtiene mediante:

(4)   \begin{flalign*} k=\text{MFP}\cdot\frac{S\ln 10^6}{ Vc}  \rightarrow \text{MFP}=k\cdot\frac{V\ c}{S\ ln 10^6} \end{flalign*}

Donde \text{MFP} es el valor de MFP experimental o teórico en metros y c la velocidad del sonido en m/s.

 

El factor k (que habitualmente en la literatura aparece con el valor 0.161) es el valor que multiplica a V/A en la ecuación del tiempo de reverberación:

(5)   \begin{flalign*} T &= \text{MFP}\cdot\frac{\ln 10^6 }{c\ \overline{\alpha}}=k\cdot\frac{V\ c}{S\ ln 10^6}\cdot\frac{\ln 10^6}{c\ \overline{\alpha}}=\\ ~\\ &=k\frac{V}{S\ \overline{\alpha}}=k\frac{V}{A}\approx 0.161 \cdot \frac{V}{A} \end{flalign*}

Donde A puede ser la absorción equivalente de Sabine o de Eyring.

Como se puede observar el MFP es primordial para los cálculos teóricos del tiempo de reverberación y todos los cálculos que dependan de este, por ello no se puede tomar a la ligera el valor de MFP. El cálculo 4V/S para obtener el MFP es aproximado, se ha podido ver en la tabla del libro de Knudsen que difiere ligeramente de lo obtenido experimentalmente, por lo que siempre debemos ser conscientes de que introducimos cierto margen de error en nuestros cálculos.



Referencias

Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica: sive de viribus et motibus fluidorum commentarii.
Eyring, C. F. (1930). Reverberation Time in “Dead” Rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 168–168. https://doi.org/10.1121/1.1901884
Jäger, G. (1911). Zur theorie des nachhalls. Wiener Akad, Ber., Math.-Naturwiss, Klasse, Bd, 120, 613–634.
Knudsen, V. O. (1932). Architectural Acoustics (1a ed.). J. Wiley & sons, Incorporated.
Schuster, K., & Waetzmann, E. (1929). Über den Nachhall in geschlossenen Räumen. Annalen Der Physik, 393(5), 671–695. https://doi.org/10.1002/andp.19293930505
Self, D., Duncan, B., Sinclair, I., Brice, R., Hood, J. L., Singmin, A., … Watkinson, J. (2009). Audio Engineering: Know It All. Elsevier Science.

Deja un comentario