«Dándole una vuelta más» al cálculo de los campos acústicos. Los campos útil y perjudicial y la teoría revisada corregida

La teoría revisada corregida es un método modificado del cálculo de campos acústicos que no es definitivo sino que es un paso intermedio en la búsqueda de un cálculo más ajustado a lo que se obtiene experimentalmente. Lo propuse en mi Trabajo Fin de Grado (leer) gracias a la inspiración de mi tutor   y he querido sintetizar esa idea en una publicación de mi blog.

 

Introducción

Para entender el concepto de campo útil y campo perjudicial es necesario conocer uno de los aspectos fundamentales del sistema auditivo humano, la persistencia acústica. En  (inspirado por )  se demostraba que el cerebro humano no discrimina entre dos sonidos que tengan una separación temporal máxima aproximada de 50 ms, influyendo también en la ubicación percibida del origen de esos dos sonidos, ubicando ambos en el origen del primero (efecto de precedencia o efecto Hass).

Este concepto nos indica que además del campo directo, nuestro oído integra y, por tanto no interfieren en la inteligibilidad, las primeras reflexiones del sonido, trasladando así los campos directo y reverberado a los campos útil y perjudicial, donde el útil incorpora el campo directo y el temprano hasta los 50 ms (de 0 a 50 ms) y el perjudicial está formado por el campo acústico desde los 50 ms (de 50ms a \infty).

Hay múltiples investigaciones que intentan encontrar una formulación matemática para calcular el nivel de los campos acústicos a una distancia concreta de la fuente. En esta publicación se va a comentar la más conocida aunque no tiene en cuenta la integración temporal de los 50 ms y posteriormente dos investigaciones, esta vez sí, orientadas a la obtención de los campos útil y perjudicial.

 

Hopkins y Stryker

En  se definió el cálculo de la intensidad acústica de los campos directo y reverberado más conocido:

 

(1)   \begin{flalign*} I = \frac{WQ}{4\pi r^2}+\frac{4W}{A}  \end{flalign*}

 

donde W es la potencia acústica de la fuente en vatios, Q es el factor de directividad de la fuente, r es la distancia entre la fuente al punto a evaluar (receptor) en metros y A es la absorción acústica equivalente:

    \[A \rightarrow  \text{Puede ser } \left\{ \begin{array}{c}S\ \overline{\alpha} \quad\quad\quad\quad\;\;\; \text{(Sabine)}\\ -S \ln (1-\overline{\alpha}) \quad \text{(Eyring)}\end{array} \right.\]

Hopkins y Stryker consideraban el campo reverberante estacionario pero en la práctica no es así, la diferencia entre los campos acústicos obtenidos experimentalmente y los calculados mediante la ecuación 1 se puede observar en la gráfica siguiente:

 

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Barron y Lee (Teoría Revisada)

En  se incluyó la integración temporal de los campos acústicos, en concreto se definió el cálculo de estos para la música, por lo que el tiempo de integración que utilizan es de 80 ms (0 a 80 ms y 80 ms a \infty). Las ecuaciones planteadas fueron las siguientes (he revertido algunas simplificaciones aplicadas en el artículo):

 

(2)   \begin{flalign*} L_D =& 10\log_{10}\left( \frac{WQ}{4\pi r^2}\right) \\[1em] L_E =&10\log_{10}\left(\frac{4W}{A}\cdot e^{-\nicefrac{0.04r}{T}}\cdot\left( 1-e^{\nicefrac{-1.11}{T}} \right)\right) \\[1em] L_L =& 10\log_{10}\left(\frac{4W}{A}\cdot e^{-\nicefrac{0.04r}{T}}\cdot e^{\nicefrac{-1.11}{T}}\right) \end{flalign*}

 

donde los subíndices D, E y L se refieren a los campos directo, temprano y tardío respectivamente y T es el tiempo de reverberación calculado mediante el cálculo de  en segundos.

En primer lugar hay que comentar que la potencia acústica W en las ecuaciones anteriores se introduce en microvatios (10^{-12}), con ello consiguen desprenderse del cociente de impedancia acústica del aire entre la presión de referencia al cuadrado (\nicefrac{Z}{p_0^2}) que aproximadamente tiene un valor medio de 10^{12} y es necesario para obtener valores de presión acústica a partir de valores de intensidad acústica, esta simplificación introduce un error aproximado del 3% en el cálculo y por ello yo no voy a mantenerla en las siguientes ecuaciones y explicaciones. En segundo lugar, tal como se plantean las ecuaciones no permiten variar el tiempo de integración, por lo que replanteando las ecuaciones quedan del siguiente modo:

(3)   \begin{flalign*} L_D (r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{WQ}{4\pi r^2}\right)\\[1em] L_E (r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{4W}{A}\cdot \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\right)} - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\right)}\right)\right)\\[1em] L_L(r)&=10\log_{10}\left(\frac{Z}{p_0^2}\cdot\frac{4W}{A}\cdot e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\right)}\right)\\[1em] L_{\text{útil}} &=10\log_{10}\left(10^{\nicefrac{L_D}{10}}+10^{\nicefrac{L_E}{10}}\right)\\[1em] L_{\text{perjudicial}} &= L_L  \end{flalign*}

 

donde Z es la impedancia acústica del aire en rayl, p_0=2\cdot 10^{-5} es la presión de referencia, la fracción r/c indica el tiempo en segundos que tarda el sonido en recorrer la distancia entre la fuente y el receptor (r distancia fuente-receptor en metros, c velocidad del sonido en m/s) y t_0 es el tiempo de integración en segundos, para el caso de la palabra es 0.05 segundos.

Si bien el cálculo se aproxima al comportamiento de los campos útil y perjudicial observados experimentalmente, no se puede dar por válido debido a la diferencia con éste, en la figura siguiente se pueden observar estas diferencias (el tiempo de integración es 50 ms):

 

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Sato y Bradley (Teoría Revisada Modificada)

En  se experimenta con la introducción de factores de corrección en las ecuaciones (ecuaciones 4′ y 5′ del artículo mencionado), obteniendo un mejor ajuste de las curvas calculadas frente a las experimentales.

Teoría Revisada Corregida

Partiendo de las ecuaciones 3 y considerando el ajuste de las ecuaciones realizado por , propongo una serie de coeficientes de ajuste que se deben calcular realizando una regresión de las curvas calculadas para ajustarlas a las curvas experimentales, este proceso repetido en múltiples recintos con diferentes características espero que dé como resultado una relación de los parámetros del recinto y los valores de los coeficientes obtenidos para incorporar esa relación a las ecuaciones y obtener un cálculo aún más ajustado.

Además de la inclusión de coeficientes, a partir del análisis de varios campos tempranos experimentales, he encontrado una relación del campo temprano con la inversa de la distancia tal como se puede observar en la figura siguiente, el cálculo de la teoría revisada considera el campo temprano con una pendiente lineal (verde) pero no se corresponde con lo obtenido experimentalmente (rojo y azul), incluyendo mi propuesta de la inversa de la distancia (rosa) el cálculo se aproxima más a lo experimental:

 

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Por lo que las ecuaciones que propongo son las siguientes:

 

(4)   \begin{flalign*} I_D (r)&= \frac{WQ}{4\pi r^2}C_D\\[1em] I_E (r)&= \frac{4W}{Ar} \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\epsilon_E\right)}C_E - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\\[1em] I_L(r)&= \frac{4W}{A} e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\\[1em] I_{\text{útil}} &= I_D + I_E\\[1em] I_{\text{perjudicial}} &= I_L \end{flalign*}

 

donde t_0 es el tiempo de integración entre campo útil y campo perjudicial (0.05 segundos para palabra, 0.08 segundos para música), los coeficientes C y \epsilon se obtienen mediante regresión.

En niveles de presión acústica:

 

(5)   \begin{flalign*} L_{p,\text{útil}} (r)&= 10\log_{10} \left[\frac{Z}{p_0^2} \left(\frac{WQ}{4\pi r^2}C_D + \frac{4W}{Ar} \left(e^{-\left(\frac{13,82\frac{r}{c}}{T}\epsilon_E\right)}C_E - e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\right)\right]\\[1em] L_{p,\text{perjudicial}} (r)&= 10\log_{10} \left[\frac{Z}{p_0^2} \left(\frac{4W}{A} e^{-\left(\frac{13,82\left(\frac{r}{c}+t_0\right)}{T}\epsilon_L\right)}C_L\right)\right] \end{flalign*}

 

Para la obtención de los coeficientes en primer lugar se deben realizar mediciones en múltiples posiciones de un recinto; se obtienen las curvas de los campos acústicos frente a la distancia y se obtienen los parámetros necesarios para el cálculo (W, A, T y Q). También es interesante incorporar otros parámetros relacionados como Mean Free Path ( ), volumen, superficie, etc.

Una vez se tienen las curvas acústicas y los parámetros necesarios para el cálculo, mediante regresión, se ajustan las ecuaciones dándoles valores a los coeficientes para esa medida concreta. Como es de suponer, para realizar la regresión del campo temprano se deben tener los coeficientes del campo tardío.

Teniendo todos los datos (parámetros necesarios, relacionados y coeficientes) se almacenan en una tabla donde se irán guardando resultados obtenidos de múltiples recintos, una vez se tenga un volumen de datos grande se puede buscar una relación entre los coeficientes obtenidos y los parámetros del recinto (manualmente o con programas como eureqa). Estas relaciones pueden ser (esto es un ejemplo no es una relación real) del tipo C_L=V/A^2 o cualesquiera que puedan aparecer, una vez encontradas se sustituirán por los coeficientes para finalmente obtener unas ecuaciones más ajustadas al comportamiento real de los campos acústicos en un recinto.

Lo más probable es que haya que separar los datos según el tipo de recinto (rectangular, anfiteatro, cilíndrico, etc) ya que el comportamiento acústico difiere mucho entre uno y otro tipo. También se debe tener en cuenta que estos resultados asumen que no se está cerca de un contorno (pared, suelo, etc), para evaluar teóricamente puntos cercanos a esos contornos se debe tener en cuenta la corrección de .

Como ejemplo muestro las curvas de los campos acústicos de una medida experimental y las curvas ajustadas mediante regresión utilizando las ecuaciones de la teoría revisada corregida:

 

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Actualmente este es un proyecto que deseo llevar a cabo, para comprobar si estoy en lo cierto con las ecuaciones o deben ser replanteadas. Por falta de medios y/o tiempo por el momento el proyecto está parado, pero espero retomarlo en un futuro o que alguien recoja el testigo.

Para ampliar recomiendo ver la publicación sobre regresión múltiple y probar mis proyectos dBFA2Matlab y EASEPostFile2Matlab, ambos incluyen datos de ejemplo para observar el funcionamiento y los resultados.


Referencias

Barron, M., & Lee, L. J. (1988). Energy relations in concert auditoriums. I. The Journal of the Acoustical Society of America, 84(2), 618–628. https://doi.org/10.1121/1.396840
Eyring, C. F. (1930). Reverberation Time in “Dead” Rooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2A), 168–168. https://doi.org/10.1121/1.1901884
Guarinos, J. V., Calleja, M. Y., & Rico, J. C. E. (2016). Estudio de la inteligibilidad de palabra de un recinto en función del balance del campo directo (útil) - reverberado (perjudicial). Euroregio - Tecniacústica.
Hass, H. (1951). Über den Einfluss eines Einfach-Echos auf die Hörsamkeit von Sprache. Acustica, 1, 49–58.
Hopkins, H. F., & Stryker, N. R. (1948). A Proposed Loudness-Efficiency Rating for Loud-Speakers and the Determination of System Power Requirements for Enclosures. Proceedings of the IRE, 36(3), 315–335. https://doi.org/10.1109/JRPROC.1948.226221
Jäger, G. (1911). Zur theorie des nachhalls. Wiener Akad, Ber., Math.-Naturwiss, Klasse, Bd, 120, 613–634.
Petzold, E. (1927). Elementare raumakustik. Bauwelt-verlag.
Sato, H., & Bradley, J. S. (2008). Evaluation of acoustical conditions for speech communication in working elementary school classrooms. The Journal of the Acoustical Society of America, 123(4), 2064–2077. https://doi.org/10.1121/1.2839283
Waterhouse, R. V. (1955). Interference Patterns in Reverberant Sound Fields. The Journal of the Acoustical Society of America, 27(2), 247–258. https://doi.org/10.1121/1.1907509

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